Eine quadratische Gleichung enthält x². Sie hat keine, eine oder zwei Lösungen. Einfache Formen löst man durch Wurzelziehen oder Ausklammern, alle anderen mit der pq-Formel oder der abc-Formel, auch Mitternachtsformel genannt. Welche Formel ihr verwendet, steht im Heft. Hier gibt es die Erklärung, Beispiele, typische Fehler und 20 Aufgaben mit Sofort-Kontrolle.
Stand: Oktober 2026 · Verantwortlich: Daniel Ott · So entstehen diese Seiten
x² = 49: x = 7 oder x = −7.
Normalform: x² + px + q = 0, dann die pq-Formel.
Reelle Lösungen: Ausdruck unter der Wurzel positiv → zwei, null → eine, negativ → keine reelle Lösung.
Steht nur x² und eine Zahl in der Gleichung, stellt man nach x² um und zieht die Wurzel. Dabei gibt es zwei Lösungen, denn auch eine negative Zahl ergibt im Quadrat etwas Positives.
Bei x² = 0 gibt es nur die Lösung 0, bei x² = −4 gibt es keine reelle Lösung.
Fehlt die Zahl ohne x, klammert man x aus. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
Genauso bei Gleichungen in Produktform: (x − 2) · (x + 3) = 0 hat die Lösungen 2 und −3.
Die Gleichung muss in der Normalform x² + px + q = 0 stehen. Vor x² steht also eine 1. Sonst teilt man zuerst die ganze Gleichung durch die Zahl vor x².
Zur Probe setzt man die Lösungen ein: 4² − 6 · 4 + 8 = 0. Stimmt.
Sie funktioniert direkt mit ax² + bx + c = 0, ohne vorher zu teilen.
Für Lösungen im Bereich der reellen Zahlen entscheidet der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante: (p/2)² − q bei der pq-Formel, b² − 4ac bei der abc-Formel.
| Unter der Wurzel | Lösungen | Parabel |
|---|---|---|
| positiv | zwei | schneidet die x-Achse zweimal |
| null | eine | berührt die x-Achse |
| negativ | keine | trifft die x-Achse nicht |
Antwort eintippen oder antippen, dann „Prüfen“. Erst ein Hinweis, die Lösung erst nach einem eigenen Versuch. Dezimalzahlen mit Komma, Einheit weglassen. Negative Zahlen mit Minus: −3 oder -3.